分析 (1)求出拋物線的焦點坐標(biāo),利用已知條件列出方程組,求出橢圓的幾何量即可得到橢圓方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),AB=CD,設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x-1),聯(lián)立{y=k(x−1)y2=4x,利用韋達(dá)定理求出AB,由{y=k(x−1)x29+y28=1求出CD,然后求解直線的斜率.
解答 (本題滿分12分)
解:(1)由C1:y2=4x知其焦點F的坐標(biāo)為(1,0),
因為F也是橢圓C2的一個焦點,所以a2-b2①;
又C1與C2的公共弦長為2√6,C1與C2都關(guān)于x軸對稱,
且C1的方程為C1:y2=4x,由此易知C1與C2的公共點的坐標(biāo)為(32,±√6),
∴94a2+6b2=1②,
聯(lián)立①②得a2=9,b2=8,
故C2的方程為C2:x29+y28=1.
(2)如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
因¯AC與¯BD同向,且|AC|=|BD|知AB=CD,
設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x-1),
由{y=k(x−1)y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由x1,x2是這個方程的兩根,
x1+x2=2k2+4k2,從而AB=2k2+4k2+2,
由{y=k(x−1)x29+y28=1得(8+9k2)x2-18k2x+9k2-72=0,而x3,x4是這個方程的兩根,
x3+x4=18k28+9k2,從而CD=6−1318k28+9k2=48(1+k2)8+9k2,
由AB=CD得:3k2=8,解得k=±2√63,即直線l的斜率為±2√63.
點評 本題考查拋物線與橢圓的位置關(guān)系,直線與橢圓以及拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
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