Question

4．下列說法正確的有②④ （填序號）
①命題“若x=$\frac{π}{6}$，則sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命題為真命題
②在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B
③命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x²+x+1＞0”
④函數(shù)f（x）=x-sinx在R上有且只有一個零點
⑤已知扇形周長為6cm，面積為2cm²，則扇形中心角為1．

Answer 1

分析 運用所學(xué)知識逐個判斷真假．①寫出逆命題，再判斷真假；②采用正弦定理推導(dǎo)；③特稱命題的否定，改條件，否結(jié)論；④單調(diào)性法結(jié)合零點存在性定理判斷．若用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造函數(shù)作函數(shù)y=x和y=sinx的圖象，對y=sinx作圖不規(guī)范，容易畫出3個交點，從而認(rèn)為是3個零點，而導(dǎo)致錯誤，此命題易錯；⑤方程思想聯(lián)立方程組計算可得．

解答 解：分別判斷命題①至⑤真假如下；
命題①：“若x=$\frac{π}{6}$，則sinx=$\frac{1}{2}$”的逆命題為“若sinx=$\frac{1}{2}$，則$x=\frac{π}{6}$”是假命題．
解方程sinx=$\frac{1}{2}$，得：$x=\frac{π}{6}+2kπ$或$x=\frac{5π}{6}+2kπ$（k∈Z），
∴所以命題①不正確．
命題②：在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$且 sinA＞sinB，
∴a＞b，
又∵三角形ABC中，大邊對大角，小邊對小角，
∴A＞B  
故命題②是真命題，即命題②正確．
命題③：命題“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x²+x+1≥0”，
故命題③不正確．
命題④：對函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）=1-cosx≥0，知f（x）為R上的增函數(shù)，
又有f（0）=0，
所以，函數(shù)f（x）在R上有且只有一個零點．
故命題④正確．
命題⑤：設(shè)扇形半徑為R，扇形弧長為L，周長為C，面積為S，扇形中心角為α，
列方程組如下：
$\left\{\begin{array}{l}{C=2R+L}\\{L=αR}\\{S=\frac{1}{2}LR}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{L=2}\\{R=2}\\{α=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{L=4}\\{R=1}\\{α=4}\end{array}\right.$，
∴扇形中心角為1或4，命題⑤不正確．
故答案為：②④．

點評 本題涉及知識面比較廣，要求對各模塊知識點掌握，但各命題判斷難度不大，屬于中檔題．