如圖，在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中，M、N、P分別為所在邊的中點，O為面對角線A
1C
1的中點．
（1）求證：面MNP∥面A
1C
1B．
（2）求證：OM⊥面A
1BC
1．
考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）連結(jié)D1C，由三角形中位線定理得MN∥D1C，MP∥C1B，由此能證明面MNP∥面A1C1B．
（2）連結(jié)C1M和A1M，設(shè)正方體的邊長為a，連結(jié)BO和BM，由勾股定理得BO⊥MO．由此能證明MO⊥面A1C1B．
解答：
證明：（1）連結(jié)D
1C，MN為△DD
1C的中位線，∴MN∥D
1C．…（2分）
又∵D
1C∥A
1B∴MN∥A
1B．同理MP∥C
1B．…（4分）
而MN與MP相交，MN，MP?面MNP，A
1B，A
1B?面A
1C
1B．
∴面MNP∥面A
1C
1B．…（6分）
（2）連結(jié)C
1M和A
1M，設(shè)正方體的邊長為a，
∵正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1，∴C
1M=A
1M，
又∵O為A
1C
1的中點，
∴A
1C
1⊥MO…（8分）
連結(jié)BO和BM，在三角形BMO中，
OB=
a，MO=
a，BM=
a，
∴OB
2+MO
2=MB
2，
即BO⊥MO．而A
1C
1，BO?面A
1C
1B，
∴MO⊥面A
1C
1B．…（12分）
點評：本題考查面面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)底面直徑和高都是4厘米的圓柱的內(nèi)切球為O．
（1）求球O的體積和表面積；
（2）與底面距離為1的平面和球的截面圓為M，AB是圓M內(nèi)的一條弦，其長為2
，求AB兩點間的球面距離．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)函數(shù)f（x）=
+
的最大值為M．
（Ⅰ）求實數(shù)M的值；
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|≤M的解集．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知矩陣M=
（1）求M的逆矩陣M
-1；
（2）求直線l：x=1經(jīng)M對應(yīng)的變換T
M變換后的直線l′的方程；
（3）判斷
=
是否為M的特征向量．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知數(shù)列{a
n}滿足a
1=1，a
n+1=2a
n+1，n∈N
*（Ⅰ）證明列{a
n+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a
n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b
n}滿足
4b1-14b2-1…
4bn-1=
(an+1)bn，n∈N
*．證明：數(shù)列{b
n}是等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：
+
+…+
＜
，n∈N
*．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE，CF的中點．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求證：平面BDGH∥平面AEF；
（3）求多面體ABCDEF的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知y=f（x）在R上的圖象是一條連貫的曲線，且對于?∈R，f′（x）均存在，當(dāng)x≠0時，f′（x）+
＞0，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+
的零點的個數(shù)為
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知球的兩個平行截面的面積分別為5π和8π，它們位于球心的同一側(cè)且距離為1，則球的半徑是
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖，在四面體AOCB中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=90°，OA=a，OB=b，OC=c，直角頂點O在底面ABC上的射影是H，則下列命題正確的有
．（寫出所有正確命題的序號）
①底面△ABC是銳角三角形；
②四面體AOCB的對棱互相垂直；
③四面體AOCB的外接球半徑R=
；
④點H是△ABC的垂心；
⑤
=
+
+
．
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