Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別為所在邊的中點，O為面對角線A₁C₁的中點．
（1）求證：面MNP∥面A₁C₁B．
（2）求證：OM⊥面A₁BC₁．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連結D₁C，由三角形中位線定理得MN∥D₁C，MP∥C₁B，由此能證明面MNP∥面A₁C₁B．
（2）連結C₁M和A₁M，設正方體的邊長為a，連結BO和BM，由勾股定理得BO⊥MO．由此能證明MO⊥面A₁C₁B．

解答： 證明：（1）連結D₁C，MN為△DD₁C的中位線，∴MN∥D₁C．…（2分）
又∵D₁C∥A₁B∴MN∥A₁B．同理MP∥C₁B．…（4分）
而MN與MP相交，MN，MP?面MNP，A₁B，A₁B?面A₁C₁B．
∴面MNP∥面A₁C₁B．…（6分）
（2）連結C₁M和A₁M，設正方體的邊長為a，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O為A₁C₁的中點，
∴A₁C₁⊥MO…（8分）
連結BO和BM，在三角形BMO中，
OB=

6

2

a，MO=

3

2

a，BM=

3

2

a，
∴OB²+MO²=MB²，
即BO⊥MO．而A₁C₁，BO?面A₁C₁B，
∴MO⊥面A₁C₁B．…（12分）

點評：本題考查面面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．