Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x-4

+

5-x

的最大值為M．
（Ⅰ）求實數(shù)M的值；
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|≤M的解集．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=

2x-4

+

5-x

=

2

•

x-2

+

5-x

≤

2+1

•

(x-2)+(5-x)

=3，求得實數(shù)M的值．
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式即|x-1|+|x+2|≤3，由絕對值三角不等式可得|x-1|+|x+2|≥3，可得|x-1|+|x+2|=3．根據(jù)絕對值的意義可得x的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

2x-4

+

5-x

=

2

•

x-2

+

5-x

≤

2+1

•

(x-2)+(5-x)

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)

x-2

2

=

5-x

1

，即 x=4時，取等號，故實數(shù)M=3．
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|≤M，即|x-1|+|x+2|≤3．
由絕對值三角不等式可得|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，
∴|x-1|+|x+2|=3．
根據(jù)絕對值的意義可得，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時，|x-1|+|x+2|=3，
故不等式的解集為[-2，1]．

點評：本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，絕對值的意義，絕對值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．