Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₁=1，a₂=2，S_n+1=a_n+2-a_n+1（n∈N*），若不等式λS_n＞a_n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ＞1．

Answer 1

分析 由題知，當(dāng)n≥2 時(shí)，有S_n+1=a_n+2-a_n+1，S_n-1+1=a_n+1-a_n，兩式相減得a_n+2=2a_n+1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可得a_n，S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由題知，當(dāng)n≥2 時(shí)，有S_n+1=a_n+2-a_n+1，S_n-1+1=a_n+1-a_n，
兩式相減得a_n+2=2a_n+1，
又a₁=1，a₂=2，$\therefore$ a₃=4，故a_n+1=2a_n 對(duì)任意n∈N^* 成立，
∴${a_n}={2^{n-1}}$，${S_n}={2^n}-1$，
∴$λ＞\frac{a_n}{S_n}=\frac{1}{{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}$恒成立只需$λ＞\frac{1}{{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}$的最大值，
當(dāng)n=1時(shí)，右式取得最大值1，∴λ＞1．
故答案為：λ＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．