Question

16．已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）的最小值為3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]，f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極值與最值．
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$．x∈（0，e]．對(duì)a分類討論：①a≤0時(shí)；②a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$．x∈（0，e].$0＜a≤\frac{1}{e}$時(shí)，$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極值與最值即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]，
f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x≤e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（1）=1．
（2）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$．x∈（0，e]．
①a≤0時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減．
∴x=e時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值，f（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$＞0，舍去．
②a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$．x∈（0，e]．
$0＜a≤\frac{1}{e}$時(shí)，$\frac{1}{a}$≥e．f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減．
∴x=e時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值，f（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$＞0，舍去．
$a＞\frac{1}{e}$時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜e，可得函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，e]$上單調(diào)遞增．
∴x=$\frac{1}{a}$時(shí)函數(shù)f（x）取得最小值，f（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，解得a=e²＞$\frac{1}{e}$，滿足條件．
綜上可得：a=e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．