Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)M（1，0），兩動(dòng)點(diǎn)A，B在雙曲線x²-3y²=3的右支上，則cos∠AMB的最小值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)M（1，0）向雙曲線引切線，兩條切線所夾的角為符合題意的∠AMB最大角，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，它的余弦值cos∠AMB取最小值．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線x²-3y²=3的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，其右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）；
過(guò)M（1，0）向雙曲線引切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，
若兩條切線所夾的角為∠AMB最大角．由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，cos∠AMB取最小值．
設(shè)切線的斜率為k，切線方程為y=k（x-1），
將y=k（x-1）代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1中，可得$\frac{{x}^{2}}{3}$-k²（x-1）²=1，
即（1-3k²）x²+6k²x-3k²-3=0，
△=36k?+12（k²+1）（1-3k²）=0
整理：1-2k²=0，
解可得k²=$\frac{1}{2}$，
設(shè)∠AMB=2θ，則有tan²θ=k²=$\frac{1}{2}$，
cos2θ=$\frac{1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{1}{3}$，
即cos∠AMB的最小值是$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及三角函數(shù)中角的余弦值的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．