Question

13．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcosθ=a（a＞0），Q為l上一點，以O(shè)Q為邊作等邊三角形OPQ，且O、P、Q三點按逆時針方向排列．
（Ⅰ）當點Q在l上運動時，求點P運動軌跡的直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C：x²+y²=a²，經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲線C′，試判斷點P的軌跡與曲線C′是否有交點，如果有，請求出交點的直角坐標，沒有則說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先結(jié)合題意求得點P的極坐標方程，然后將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程即可；
（Ⅱ）首先利用伸縮變換求得C’的方程，將其與點P的軌跡方程聯(lián)立之后解方程即可求得交點坐標．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標為 （ρ，θ），則由題意可得點Q的坐標為 $（ρ，θ+\frac{π}{3}）$，
再由點Q的橫坐標等于a，a＞0，可得 $ρcos（θ+\frac{π}{3}）=a$，
可得$\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=a$，
故當點Q在l上運動時點P的直角坐標方程為$x-\sqrt{3}y-2a=0$．
（Ⅱ）曲線C：x²+y²=a²，
伸縮變換即：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x'}{2}}\\{y=y'}\end{array}\right.$，代入整理可得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}={a}^{2}$，
聯(lián)立點P的軌跡方程，消去x得 $7{y}^{2}+4\sqrt{3}ay=0$，
∵a＞0，∴△＞0，有交點，坐標分別為 $（\frac{2}{7}a，-\frac{4\sqrt{3}}{7}a），（2a，0）$．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，交點問題的求解，參數(shù)方程與普通方程的互化等，重點考查學生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．