【題目】已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)和連線(xiàn)的斜率之積等于.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn): ()與軌跡交于、兩點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.
【答案】(Ⅰ)();(Ⅱ).
【解析】試題分析:(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)列式,即可求橢圓E的方程;
(2)首先設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將直線(xiàn)y=x+m代入橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理與判別式求出x1+x2、x1x2和m2的范圍,進(jìn)而求出|AB|,設(shè)AB中點(diǎn),求出和的坐標(biāo)即可得到到的距離,可得,可求出三角形面積的最大值.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)的坐標(biāo)為,
依題意得,
化簡(jiǎn)得軌跡的方程為().
(Ⅱ)設(shè), ,
聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得: ,
有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
由根與系數(shù)的關(guān)系得, ,
,即且.
設(shè)、中點(diǎn)為, 點(diǎn)橫坐標(biāo), ,
,
線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為.
點(diǎn)坐標(biāo)為.
到的距離,
由弦長(zhǎng)公式得 ,
,
當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)等號(hào)成立,
.
點(diǎn)晴:本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系. 直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想,另一方面要結(jié)合已知條件,從圖形角度求解.聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程得到方程組,化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中,應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng);涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算;涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題,可考慮用圓錐曲線(xiàn)的定義求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料分別用奶粉、咖啡、糖。乙種飲料分別用奶粉、咖啡、糖。已知每天使用原料限額為奶粉、咖啡、糖。如果甲種飲料每杯能獲利元,乙種飲料每杯能獲利元。每天在原料的使用限額內(nèi)飲料能全部售出,每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大?
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【題目】某貨輪勻速行駛在相距海里的甲、乙兩地間運(yùn)輸貨物,運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用組成.已知該貨輪每小時(shí)的燃料費(fèi)用與其航行速度的平方成正比(比例系數(shù)為),其他費(fèi)用為每小時(shí)元,且該貨輪的最大航行速度為海里/小時(shí).
(1)請(qǐng)將從甲地到乙地的運(yùn)輸成本(元)表示為航行速度(海里/小時(shí))的函數(shù);
(2)要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少,該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一個(gè)骰子先后拋擲兩次,事件表示:“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,事件表示“第二次的點(diǎn)數(shù)不小于5”,則__________.
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【題目】已知公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),若,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)的最小正周期為.
(1)求的值;
(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖像,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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【題目】已知直線(xiàn)l1:3x+2y﹣1=0和l2:5x+2y+1=0的交點(diǎn)為A
(1)若直線(xiàn)l3:(a2﹣1)x+ay﹣1=0與l1平行,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)l的方程.
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【題目】已知是等差數(shù)列,滿(mǎn)足,數(shù)列滿(mǎn)足,且為等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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