Question

4．正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，且a₂，a₄+2，2a₇-8成等比數(shù)列，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a₁=4可知a₂=4+d、a₄=4+3d、a₇=4+6d，利用a₂，a₄+2，2a₇-8成等比數(shù)列可知d=2或d=-6（舍），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知S_n=n²+3n，裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并項(xiàng)相加、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a_n＞0，
a₂=a₁+d=4+d，a₄=a₁+3d=4+3d，a₇=a₁+6d=4+6d，
∵a₂，a₄+2，2a₇-8成等比數(shù)列，
∴（a₄+2）²=a₂（2a₇-8），即（6+3d）²=（4+d）•12d，
解得：d=2或d=-6（舍），
∴數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（2）由（1）可知a_n=2n+2，
∴S_n=2$•\frac{n（n+1）}{2}$+2n=n²+3n，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+2}$
=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$
=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．