Question

14．在區(qū)間[0，1]上任取三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，事件A={（x，y，z）|x²+y²+z²＜1}
（1）構(gòu)造出此隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形；
（2）利用此圖形求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取三個(gè)數(shù)x，y，z，x²+y²+z²＜1表示的是以原點(diǎn)（0，0，0）為球心，1為半徑的球內(nèi)的點(diǎn)．而事件A={（x，y，z）|x²+y²+z²＜1}中的點(diǎn)表示的是球在正方體內(nèi)部的點(diǎn)，
（2）利用球的體積計(jì)算公式可得出A對應(yīng)的幾何圖形的體積．再利用幾何概型的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）在區(qū)間[0，1]上隨機(jī)取三個(gè)數(shù)x，y，z，
x²+y²+z²＜1表示的是以原點(diǎn)（0，0，0）為球心，1為半徑的球內(nèi)的點(diǎn)．
而事件A={（x，y，z）|x²+y²+z²＜1}中的點(diǎn)表示的是球在正方體內(nèi)部的點(diǎn)，
故隨機(jī)事件A對應(yīng)的幾何圖形是一個(gè)$\frac{1}{8}$球體，
（2）則點(diǎn)（x，y，z）在棱長為1的正方體內(nèi)，其體積V=1³=1．
因此P（A）=$\frac{\frac{1}{8}×\frac{4}{3}π}{1}$=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了幾何概型的概率計(jì)算公式，難度不大，是中檔題目．