Question

【題目】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20 ， 接下來(lái)的兩項(xiàng)是20 ， 21 ， 再接下來(lái)的三項(xiàng)是20 ， 21 ， 22 ， 依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（　　）
A.440
B.330
C.220
D.110

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)該數(shù)列為{an}，設(shè)bn= +…+ =2n﹣1，（n∈N+），則 = ai ，
由題意可設(shè)數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為SN ， 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 則Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，
可知當(dāng)N為 時(shí)（n∈N+），數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，即為2n﹣n﹣2，
容易得到N＞100時(shí)，n≥14，
A項(xiàng)，由 =435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230 ， 故A項(xiàng)符合題意．
B項(xiàng)，仿上可知 =325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，顯然不為2的整數(shù)冪，故B項(xiàng)不符合題意．
C項(xiàng)，仿上可知 =210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，顯然不為2的整數(shù)冪，故C項(xiàng)不符合題意．
D項(xiàng)，仿上可知 =105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，顯然不為2的整數(shù)冪，故D項(xiàng)不符合題意．
故選A．
方法二：由題意可知： ， ， ，… ，
根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1，2，3，…，n，
總共的項(xiàng)數(shù)為N=1+2+3+…+n= ，
所有項(xiàng)數(shù)的和為Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n，
由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需將﹣2﹣n消去即可，
則①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，總共有 +2=2，不滿足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，總共有 +3=17，不滿足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，總共有 +4=95，不滿足N＞100，
④1+2+4+8+16（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，總共有 +5=440，滿足N＞100，
∴該款軟件的激活碼440．
故選A．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．