Question

【題目】已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．
（Ⅰ）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（Ⅱ）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．

Answer 1

【答案】解：方法一：證明：（Ⅰ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則A（2，2），B（2，﹣2），
則 =（2，2）， =（2，﹣2），則 =0，
∴ ⊥ ，
則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k（x﹣2），設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
則x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0，
則y1y2=﹣4，
由 =x1x2+y1y2=0，
則 ⊥ ，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，
綜上可知：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則y1y2=﹣4，
則（y1y2）2=4x1x2 ， 則x1x2=4，則 =x1x2+y1y2=0，
則 ⊥ ，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，
∴坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，
圓M過(guò)點(diǎn)P（4，﹣2），則 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2/span> ， ﹣2﹣y2），
由 =0，則（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
當(dāng)k=﹣2時(shí)，直線l的方程為y=﹣2x+4，
則x1+x2= ，y1+y2=﹣1，
則M（ ，﹣ ），半徑為r=丨MP丨= = ，
∴圓M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．
當(dāng)直線斜率k=1時(shí)，直線l的方程為y=x﹣2，
同理求得M（3，1），則半徑為r=丨MP丨= ，
∴圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
綜上可知：直線l的方程為y=﹣2x+4，圓M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2=
或直線l的方程為y=x﹣2，圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【解析】（Ⅰ）方法一：分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得A和B的坐標(biāo)，由 =0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；當(dāng)直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的可得 =0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得 =0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（Ⅱ）由題意可知： =0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了點(diǎn)斜式方程和斜截式方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為則：；直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為則：才能正確解答此題．