已知f(log2x)=
ax+b
x+
2
(a∈R,x>0)
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)判斷并用單調(diào)性定義證明函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)利用換元法,令log2x=t,則x=2t,f(t)=
a2t+b
2t+
2
,以x代t,得y=f(x)=
a2x+b
2x+
2
,x∈R.
(2)利用定義,按照取值,作差,比較f(x1)與f(x2)大小關(guān)系,做出解答.
解答: 解:(1)∵f(log2x)=
ax+b
x+
2
,令log2x=t,則x=2t,∵x>0,∴t∈R,
∴f(t)=
a2t+b
2t+
2
,
以x代t,得y=f(x)=
a2x+b
2x+
2
,x∈R.
(2)設(shè)x1,x2,是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=
(
2
a-b)(2x1-2x2)
(2x1+
2
)(2x2+
2
)
,∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,
當(dāng)b>
2
a時(shí),f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù),
當(dāng)b=
2
a時(shí),f(x1)-f(x2)=0,f(x1)=f(x2),函數(shù)y=f(x)在R上是常函數(shù),
當(dāng)b<
2
a時(shí),f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),函數(shù)y=f(x)在R上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的概念以及解析式表示函數(shù),考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,考查換元法,分類討論的思想方法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(Ⅰ)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角B-AP-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2sinωx(其中常數(shù)ω>0),若存在x1∈[-
3
,0)
,x2∈(0,
π
4
]
,使得f(x1)=f(x2),則ω的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+1)=
1
f(x)
,且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=|x|,函數(shù)g(x)=
sinπx,x≥0
-
1
x
,x<0
,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( 。
A、8B、9C、10D、11

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△OAB中,|
OA
|=a,|
OB
|=b,OD是AB邊上的高,若
AD
AB
,則實(shí)數(shù)λ等于( 。
A、
a•(b-a)
|a-b|2
B、
a
•(
a
-
b
)
|
a
-
b
|2
C、
a•(b-a)
|a-b|
D、
a•(a-b)
|a-b|

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過三點(diǎn)(-2,0)(6,0)(0,-6)的圓的方程是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知H是△ABC的垂心,且AH=BC,試求∠A的度數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等比數(shù)列{an},且a4+a8=
2
0
4-x2
dx,則a6(a2+2a6+a10)的值為( 。
A、π2B、4
C、πD、-9π

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線y=ax+b(a+b=0)的圖象可能是( 。
A、
B、
C、
D、

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