Question

已知f（x）=x²-2x-ln（x+1）²．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-x²+3x+a在[-

1

2

，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0
（2）先求出F（x）=x-ln（x+1）²+a，再求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，得到

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或F（1）=0，繼而求出范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2x-ln（x+1）²的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，
∵f′（x）=2x-2-

2

x+1

=

2(x2-2)

x+1

．
令f′（x）＞0，
則x∈（-

2

，-1）∪（

2

，+∞），
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-

2

，-1）和（

2

，+∞）；
（2）由已知得F（x）=x-ln（x+1）²+a，
∴F′（x）=1-

2

x+1

=

x-1

x+1

，
∴當(dāng)x＜-1，或x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜1，F(xiàn)′（x）＜0，
∴當(dāng)x∈[

1

2

，1]，F(xiàn)′（x）＜0，此時(shí)F（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[1，2]，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)F（x）單調(diào)遞增，
∴F（

1

2

）=

1

2

-ln（

1

2

+1）²+a＞a，F(xiàn)（2）=2-2ln3+a＜a
∴F（

1

2

）＞F（2）
∵函數(shù)F（x）=f（x）-x²+3x+a在[

1

2

，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴

F( 1 2 )≥0 F(2)＜0

或F（1）=0，
解得

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：

1

2

-2ln2≤a≤2ln3-2，或a=2ln2-1，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及二次函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．