Question

設(shè)x₁，x₂是實系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的根，若x₁是虛數(shù)，

x 2 1

x2

是實數(shù)，則s=1+

x1

x2

+（

x1

x2

）²+…+（

x1

x2

）²⁰¹²=

 

．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：根據(jù)實系數(shù)二次方程的虛根成對出現(xiàn)，設(shè)x₁=x+yi（x、y∈R且y≠0）、x₂=x-yi，根據(jù)分母實數(shù)化簡

x 2 1

x2

，令實部為零求出x與y的關(guān)系，把它代入根據(jù)分母實數(shù)化簡后

x1

x2

的式子，同理依次求出(

x1

x2

)2、(

x1

x2

)2等，求出它們的周期，再求出s的值．

解答： 解：由題意設(shè)x₁=x+yi（x、y∈R且y≠0），
因為x₁，x₂是實系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的根，則x₂=x-yi（x、y∈R），
所以

x 2 1

x2

=

(x+yi)2

x-yi

=

(x2-y2+2xyi)(x+yi)

x2+y2

∈R，
所以y（x²-y²）+2yx²=0，
因為y≠0，所以x²-y²+2x²=0，即y²=3x²，則y=±

3

x，
不妨設(shè)y=

3

x，
所以

x1

x2

=

x+yi

x-yi

=

(x+yi)2

x2+y2

=

x2-y2+2xyi

x2+y2

=

-1+ 3 i

2

，
則(

x1

x2

)2=

-2-2 3 i

4

=

-1- 3 i

2

，(

x1

x2

)3=

-1- 3 i

2

×

-1+ 3 i

2

=

1+3

4

=1，(

x1

x2

)4=

-1+ 3 i

2

，…，
所以1、

x1

x2

、（

x1

x2

）²、(

x1

x2

)3、…按周期為3循環(huán)，
則s=1+

x1

x2

+（

x1

x2

）²+…+（

x1

x2

）²⁰¹²=（1+

-1+ 3 i

2

+

-1- 3 i

2

）×671=0，
故答案為：0．

點評：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，實數(shù)的條件，以及利用周期性求和，考查化簡計算能力．