Question

15．已知橢圓方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$右焦點(diǎn)F、斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積；
（2）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意方程求出b，c的值，代入菱形面積公式得答案；
（2）右焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為y=x-1．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設(shè)條件得y₁=-1，${y}_{2}=\frac{1}{3}$．由此可求出△POQ的面積；
（3）假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因?yàn)橹本�與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．由題意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知0＜m＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由橢圓方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得
a²=2，b²=1，則c²=a²-b²=1，
∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積S=$\frac{1}{2}×2b×2c=\frac{1}{2}×2×2=2$；
（2）右焦點(diǎn)F（1，0），直線l的方程為y=x-1．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得3y²+2y-1=0，解得${y}_{1}=-1，{y}_{2}=\frac{1}{3}$．
∴${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{2}{3}$；
（3）假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．
∵直線與x軸不垂直，∴設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{MP}=（{x}_{1}-m，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MQ}=（{x}_{2}-m，{y}_{2}）$，
$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{2}-{x}_{1}，{y}_{2}-{y}_{1}）$，（x₂-x₁≠0），
若以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，則（$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$）⊥$\overrightarrow{PQ}$，
得，（$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，
即（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，則（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0，
∴（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2m）+k²（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）=0，得2k²-（2+4k²）m=0，解得m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$（k≠0）．
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．