Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點A（m，n），B（n，t），C（t，m），直線AC的斜率與傾斜角為鈍角的直線AB的斜率之和為

5

3

，而直線AB恰好經(jīng)過拋物線x²=2p（y-q），（p＞0）的焦點F并且與拋物線交于P、Q兩點（P在y軸左側(cè)）．則|

PF

QF

|=（　�。�

• A、9
• B、4
• C、

  173

  2

• D、

  21

  2

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)出直線AB，AC的斜率，利用已知條件建立等式求得直線AB的斜率，進而利用點斜式表示出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得關(guān)于x的方程，求得P，Q的坐標(biāo)，進而利用斜率和橫坐標(biāo)分別表示出|PF|，|QF|，最后求得其比值．

解答： 解：設(shè)k_AB=

t-n

n-m

，k_AC=

m-n

t-m

，
則

t-n

n-m

+

m-n

t-m

=

5

3

，
∵（n-m）•k_AB=t-n=（t-m）+（m-n），
∴

m-n

t-m

=-

1

kAB+1

，
∴k_AB-

1

kAB+1

=

5

3

，解得k_AB=-

4

3

或2（舍去），
∵直線AB過拋物線x²=2p（y-q）的焦點，和直線AB過拋物線x²=2py的焦點，對|

PF

QF

|的值沒有影響，故可研究AB過拋物線x²=2py的情況，
∴直線AB的方程為y=-

4

3

x+

p

2

，與拋物線聯(lián)立消去y，
整理得x²+

8p

3

x-p²=0，求得x=-

9p

3

或

p

3

．
∵拋物線x²=2py的焦點為（0，

p

2

），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P在y軸左側(cè)，
∴x₁=-

9p

3

，x₂=

p

3

∴|PF|=

1+k2

（|x₁-0|）=

1+k2

|x₁|，|QF|=

1+k2

（|x₁-0|）=

1+k2

x₂，
∴|

PF

QF

|=|

1+k2 x1

1+k2x2

|=|

x1

x2

|=|

- 9 3 p

p 3

|=9．
故選：A．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．一般思路是直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x或y，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題，找到問題的突破口．