Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連接A₁C，BD．
（1）求三棱錐A₁-BCD的體積．
（2）求證：A₁C⊥BD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出A₁A是三棱錐A₁-BCD的高，AA₁=BB₁=2，S△BCD=

1

2

BC×CD=

1

2

，由此能求出三棱錐A₁-BCD的體積．
（2）連結(jié)AC，由已知條件推導(dǎo)出A₁A⊥BD，BD⊥AC，從而B(niǎo)D⊥平面A₁AC，由此能證明A₁C⊥BD．

解答： （本小題滿分8分）
（1）解：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥平面BCD，
A₁A是三棱錐A₁-BCD的高，AA₁=BB₁=2，（1分）
AB=BC=1，S△BCD=

1

2

BC×CD=

1

2

，（2分）
∴V三棱錐A1-BCD=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．（3分）
（2）證明：連結(jié)AC，
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD，（4分）
又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，BD⊥AC，（5分）
∵A₁A∩AC=A，∴BD⊥平面A₁AC，（7分）
又A₁C?平面A₁AC，∴A₁C⊥BD．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．