Question

16．已知y=f（x），x∈D（D為此函數(shù)的定義域）同時滿足下列兩個條件：
（1）函數(shù)f（x）在D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
（2）存在區(qū)間[a，b]⊆D，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數(shù)．請回答以下問題：
（1）判斷函數(shù)f（x）=3^x（x∈（0，+∞））是否為閉函數(shù)，并說明理由
（2）若y=k+$\sqrt{x}$（k＜0）是閉函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷函數(shù)y=3^x是（0，+∞）上的增函數(shù)，但不滿足條件②，故不是閉函數(shù)；
（2）易知y=k+$\sqrt{x}$是（0，+∞）上的增函數(shù)，設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，求出滿足條件的k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)y=3^x是（0，+∞）上的增函數(shù)，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a{=3}^{a}}\\{b{=3}^}\end{array}\right.$，
即方程x=3^x有兩個不等的實(shí)數(shù)根，這是不成立的，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)
（2）易知y=k+$\sqrt{x}$是（0，+∞）上的增函數(shù)，
設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，則$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a}}\\{b=k+\sqrt}\end{array}\right.$；
故a，b是x=k+$\sqrt{x}$的兩個不等根，
即方程組為：x²-（2k+1）x+k²=0兩個不等非負(fù)實(shí)根；
設(shè)x₁，x₂為方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，
則△=（2k+1）²-4k²＞0①，x₁+x₂=2k+1＞0②，x₁x₂=k²≥0③，k＜0④，
由①②③④解得：-$\frac{1}{4}$＜k＜0，
∴k的取值范圍是（-$\frac{1}{4}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并利用新定義求參數(shù)的值．