Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x²-x）lnx-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{（a+1）x}{lnx}$，對(duì)任意x∈（1，+∞）都有f（x）＞g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出f（x）的最小值，g（x）的最大值，要使f（x）＞g（x）對(duì)任意x∈（1，+∞）成立，
只需f（x）_最小值＞g（x）_最大值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=（2x-1）lnx+（x²-x）•$\frac{1}{x}$-3x+2=（2x-1）（lnx-1），x∈（0，+∞），
令f′（x）＞0，解得：x＞e或x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜e，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$），（e，+∞）遞增，在（$\frac{1}{2}$，e）遞減；
（2）由（1）得：f（x）在（1，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
∴f（x）_最小值=f（e）=e-$\frac{1}{2}$e²，
∵g′（x）=$\frac{（a+1）（lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
∴a+1＜0時(shí)，g（x）在（1，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴g（x）_最大值=g（e）=（a+1）e，
要使f（x）＞g（x）對(duì)任意x∈（1，+∞）成立，
必須f（x）_最小值＞g（x）_最大值，即f（e）＞g（e），
∴a＜-$\frac{1}{2}$e，
∴a+1≥0時(shí)，g（x）≥0，而f（x）_最小值=e-$\frac{1}{2}$e²＜0，
∴f（x）＞g（x）對(duì)?x∈（1，+∞）不可能成立，
綜上，a＜-$\frac{1}{2}$e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．