Question

5．如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，擬過線段BC上一點E設(shè)計一條直路EF（點F在四邊形ABCD的邊上，不計路的寬度），EF將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍．設(shè)EC=x百米，EF=y百米．
（1）當點F與點D重合時，試確定點E的位置；
（2）試求x的值，使直路EF的長度y最短．

Answer 1

分析 （1）當點F與點D重合時，S_△CDE=$\frac{1}{4}$S_ABCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，代入三角形的面積公式即可確定點E的位置；
（2）分類討論，確定y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值．

解答 解：（1）∵S_ABCD=2S_△BCD=2×1×sin120°=$\sqrt{3}$，
當點F與點D重合時，S_△CDE=$\frac{1}{4}$S_ABCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
又∵S_△CDE=$\frac{1}{2}•1•x•sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x，
∴x=1，即E是BC的中點．
（2）①當點F在CD上，則1≤x≤2時，由S_△CEF=$\frac{1}{2}•x•CF•sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$可得CF=$\frac{1}{x}$，
再由余弦定理可得y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$$≥\sqrt{3}$；當且僅當x=1時取等號，
②當點F在DA上時，則0≤x＜1時，由S_△CEF=$\frac{1}{2}$（x+DF）•1•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$可得DF=1-x，
（�。┊擟E＜DF時，過E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=1-2x，∠EGF=60°，
利用余弦定理得y=$\sqrt{4{x}^{2}-2x+1}$，
（ⅱ）同理當CE≥DF，過E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=2x-1，∠EGF=120°，
利用余弦定理得y=$\sqrt{4{x}^{2}-2x+1}$，
由（�。�、（ⅱ）可得y=$\sqrt{4{x}^{2}-2x+1}$，0≤x＜1
∴y=$\sqrt{4{x}^{2}-2x+1}$=$\sqrt{4（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵0≤x＜1，∴y_min=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當且僅當x=$\frac{1}{4}$時取等號，
由①②可知當x=$\frac{1}{4}$時，路EF的長度最短為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)在實際問題中的應用及二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．