Question

16．已知函數(shù)f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x），x∈（0，1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a+b+c=1，a，b，c∈（0，1）．求證：alna+blnb+clnc≥（a-2）ln2．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最小值．
（2）由a+b+c=1，推出$\frac{1-a}+\frac{c}{1-a}=1$，$\frac{1-a}，\;\frac{c}{1-a}∈（0，\;1）$．利用（1）的結(jié)果轉(zhuǎn)化推出blnb+clnc≥（a-1）ln2-alna-ln2，即可證明alna+blnb+clnc≥（a-2）ln2．

解答 解：（1）${f^'}（x）=lnx+1-ln（1-x）-1=ln\frac{x}{1-x}$，
令${f^'}（x）=0，x=\frac{1}{2}$．
當(dāng)$x∈（0，\;\frac{1}{2}）$時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)$x∈（\frac{1}{2}，\;1]$時(shí)，f′（x）＞0．
所以，$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=-ln2$．
（2）證明：由a+b+c=1，a，b，c∈（0，1），得$\frac{1-a}+\frac{c}{1-a}=1$，$\frac{1-a}，\;\frac{c}{1-a}∈（0，\;1）$．
由（1），當(dāng)x∈（0，1），xlnx+（1-x）ln（1-x）≥-ln2，
所以，$\frac{1-a}ln\frac{1-a}+\frac{c}{1-a}ln\frac{c}{1-a}≥-ln2$，$\frac{1}{1-a}[blnb-bln（1-a）+clnc-cln（1-a）]≥-ln2$，
blnb+clnc≥（a-1）ln2+（b+c）ln（1-a）=（a-1）ln2+（1-a）ln（1-a）．（*）
因?yàn)閍∈（0，1），由（1），alna+（1-a）ln（1-a）≥-ln2，
所以，（1-a）ln（1-a）≥-alna-ln2．（**）
由（*） （**），blnb+clnc≥（a-1）ln2-alna-ln2，
所以，alna+blnb+clnc≥（a-2）ln2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最小值的求法，不等式的證明，考查分析問題解決問題的能力．