Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊，銳角α的終邊與單位圓在第一象限交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，銳角β的終邊與射線x-7y=0（x≥0）重合．
（1）求tanα和tanβ的值；
（2）求2α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由條件得 $sinα=\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，由α為銳角，可求$cosα=\frac{3}{{\sqrt{10}}}$，即可求得$tanα=\frac{1}{3}$，根據(jù)銳角β的終邊與射線x-7y=0（x≥0）重合，即可求得tanβ的值．
（2）由兩角和與差的正切函數(shù)可求tan（α+β），tan（2α+β）的值，由$0＜α＜\frac{π}{2}$，y=tanx在$（0，\frac{π}{2}）$且$tanα＜1=tan\frac{π}{4}$，可求$0＜α＜\frac{π}{4}$，$0＜β＜\frac{π}{4}$，從而可得$0＜2α+β＜\frac{3π}{4}$，即可求2α+β的值．

解答 解：（1）由條件得 $sinα=\frac{1}{{\sqrt{10}}}$，
∵α為銳角，故：cosα＞0且$cosα=\frac{3}{{\sqrt{10}}}$，…（2分）
所以$tanα=\frac{1}{3}$…（3分）
因?yàn)殇J角β的終邊與射線x-7y=0（x≥0）重合，
所以$tanβ=\frac{1}{7}$…（6分）
（2）∵$tanα=\frac{1}{3}$，$tanβ=\frac{1}{7}$，
∴$tan（{α+β}）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{{\frac{1}{3}+\frac{1}{7}}}{{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{7}}}=\frac{1}{2}$…（7分）
∴$tan（{2α+β}）=tan[{α+（α+β）}]=\frac{tanα+tan（α+β）}{1-tanα•tan（α+β）}=\frac{{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}}{{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{2}}}=1$…（8分）
∵$0＜α＜\frac{π}{2}$，y=tanx在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，
且$tanα＜1=tan\frac{π}{4}$，∴$0＜α＜\frac{π}{4}$，…（10分）
同理$0＜β＜\frac{π}{4}$，∴$0＜2α+β＜\frac{3π}{4}$…（11分）
從而$2α+β=\frac{π}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)，任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基本知識(shí)的考查．