Question

5．某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊員，在校內(nèi)組織猜燈謎競賽．規(guī)定：第一階段知識測試成績不小于160分的學(xué)生進(jìn)入第二階段比賽．現(xiàn)有200名學(xué)生參加知識測試，并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估算這200名學(xué)生測試成績的中位數(shù)，并求進(jìn)入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）將進(jìn)入第二階段的學(xué)生分成若干隊進(jìn)行比賽．現(xiàn)甲、乙兩隊在比賽中均已獲得120分，進(jìn)入最后搶答階段．搶答規(guī)則：搶到的隊每次需猜3條謎語，猜對1條得20分，猜錯1條扣20分．根據(jù)經(jīng)驗，甲隊猜對每條謎語的概率均為$\frac{3}{4}$，乙隊猜對前兩條的概率均為$\frac{4}{5}$，猜對第3條的概率為$\frac{1}{2}$．若這兩隊搶到答題的機(jī)會均等，您做為場外觀眾想支持這兩隊中的優(yōu)勝隊，會把支持票投給哪隊？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)測試成績的中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖中x兩側(cè)的矩形的面積相等列式求得x值，則中位數(shù)可求，再由200×（0.003+0.0015）×20求得進(jìn)入第二階段的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)最后搶答階段甲、乙兩隊猜對燈謎的條數(shù)分別為ξ、η，則ξ服從B（3，$\frac{3}{4}$）分布，由此求得Eξ，進(jìn)一步求得最后搶答階段甲隊得分的期望，然后求出Eη，再求出最后搶答階段乙隊得分的期望，比較期望后得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)測試成績的中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖得，
（0.0015+0.019）×20+（x-140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴測試成績中位數(shù)為143.6．
進(jìn)入第二階段的學(xué)生人數(shù)為200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）設(shè)最后搶答階段甲、乙兩隊猜對燈謎的條數(shù)分別為ξ、η，
則ξ～B（3，$\frac{3}{4}$），
∴E（ξ）=$3×\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$．
∴最后搶答階段甲隊得分的期望為[$\frac{9}{4}-（3-\frac{9}{4}）$]×20=30，
∵P（η=0）=$（\frac{1}{5}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{50}$，
P（η=1）=$2×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{2}+（\frac{1}{5}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{9}{50}$，
P（η=2）=$（\frac{4}{5}）^{2}×\frac{1}{2}+2×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{2}=\frac{12}{25}$，
P（η=3）=$（\frac{4}{5}）^{2}×\frac{1}{2}=\frac{16}{50}$，
∴Eη=$0+1×\frac{9}{50}+2×\frac{12}{25}+3×\frac{16}{50}=\frac{21}{10}$．
∴最后搶答階段乙隊得分的期望為[$\frac{21}{10}-（3-\frac{21}{10}）$]×20=24．
∴120+30＞120+24，
∴支持票投給甲隊．

點評 本小題主要考查概率、概率與統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應(yīng)用意識，考查或然與必然的思想，屬中檔題．