Question

4．已知銳角三角形ABC的三邊為連續(xù)整數(shù)，且角A、B滿足A=2B．
（1）求角B的取值范圍及△ABC三邊的長；
（2）求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，設(shè)中間的邊長為n，表示出前一個和后一個邊長，由A=2B，利用內(nèi)角和定理表示出C，把A=2B代入可用B表示出C，由B的范圍，得到A的范圍，可得到C的范圍，進而得到三個角的大小關(guān)系，根據(jù)大角對大邊可得n+1為角A的對邊，n-1為B的對邊，利用正弦定理列出關(guān)系式，把A=2B代入并利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，可表示出cosB，再利用余弦定理表示出cosB，兩者相等列出關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值，進而求出cosB的值，由B為銳角，利用反函數(shù)定義即可表示出B；
（2）由（1）求出cosB的值及B為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a與c的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)△ABC的三邊為n-1，n，n+1（n≥3，n∈N），
由題設(shè)A=2B得：C=π-A-B=π-3B，
由題意$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，C∈（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$），
所以A＞C＞B，得角B所對的邊為n-1，角A所對的邊為n+1，
故有$\frac{n-1}{sinB}$=$\frac{n+1}{sin2B}$，
得cosB=$\frac{n+1}{2n-1}$，又cosB=$\frac{{n}^{2}+（n+1）^{2}-（n-1）^{2}}{2n（n+1）}$，
得$\frac{n+1}{2n-1}$=$\frac{{n}^{2}+{（n+1）}^{2}-{（n-1）}^{2}}{2n（n+1）}$，
解得n=5，
故△ABC的三邊長為4，5，6，
得cosB=$\frac{3}{4}$，從而B=arccos$\frac{3}{4}$；
（2）由B=arccos$\frac{3}{4}$，得到cosB=$\frac{3}{4}$，又B為銳角，
∴sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，又a=6，c=5，
則S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．