Question

5．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），左焦點(diǎn)F（-1，0）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A，橢圓上的另一點(diǎn)為C（非右頂點(diǎn)），N為y軸上一點(diǎn)，若△ANC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程解出a²，b²；
（2）設(shè)C（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），N（0，x），根據(jù)AN=CN，AN⊥CN列方程解出x即可．

解答 解：（1）∵橢圓E經(jīng)過點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），且焦點(diǎn)為F（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）A（-2，0），設(shè)C（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），N（0，x），則sinθ≠0．
∴AN²=4+x²，CN²=4cos²θ+（$\sqrt{3}$sinθ-x）²，k_AN=$\frac{x}{2}$，k_CN=$\frac{\sqrt{3}sinθ-x}{2cosθ}$．
∵△ANC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，
∴AN=CN，即4+x²=4cos²θ+（$\sqrt{3}$sinθ-x）²，
整理得sinθ+2$\sqrt{3}$x=0，∴x=-$\frac{sinθ}{2\sqrt{3}}$．
又AN⊥CN，即k_AN•k_CN=-1．
∴$\frac{x-\sqrt{3}sinθ}{2cosθ}=\frac{2}{x}$，即x²-$\sqrt{3}$x•sinθ=4cosθ，
把x=-$\frac{sinθ}{2\sqrt{3}}$代入上式得$\frac{7}{12}si{n}^{2}θ$=4cosθ，即7-7cos²θ=48cosθ，
解得cosθ=$\frac{1}{7}$，∴sinθ=±$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴x=±$\frac{2}{7}$．
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{2}{7}$）或（0，-$\frac{2}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．