Question

（本小題15分）在各項(xiàng)為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足
（1） 求；（2） 由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明，（3） 求

Answer 1

解：
（1）a₁=1，a₂=，a₃=；
（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能是：an=，證明見(jiàn)解析。
（3）Sn==

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系式的運(yùn)用，令值的思想得到前幾項(xiàng)，然后歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，
（1）由題意可知，那么對(duì)于n令值，那么可知a₂=
a₃=
(2)根據(jù)上一問(wèn)的結(jié)論，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可能是：an=，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分兩步驟證明即可。
（3）因?yàn)橥��?xiàng)公式累加可以得到前n項(xiàng)和的結(jié)論。
解：
（1）S₁=1/2(a₁+1/a₁)
又S₁=a₁
故1/2(a₁+1/a₁)=a₁
即a₁²=1  因?yàn)閍1>0
故a₁=1
S₂=1/2(a₂+1/a₂)
又S₂=a₁+a₂=1+a₂
故1/2(a₂+1/a₂)=1+a₂ (a₂>0)
解得：a₂=
同理：a₃=
（2）從（1）中可看出：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可能是：an=
假設(shè)an=成立
證明：
① 當(dāng)n=1時(shí)，a_n=1=     假設(shè)成立
② 當(dāng)n=2時(shí)，a_n==    假設(shè)成立
③ 假設(shè)n=i時(shí)，假設(shè)成立，即
ai=
Si=(+()+()+…+()=
那么，當(dāng)n=i+1時(shí)
由sn=1/2(a_n+1/a_n)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1="Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-"
解得：ai+1= 由①②③可證明假設(shè)a_n=成立
an通項(xiàng)公式為：a_n=
（3）Sn==