Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x，5）在矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q（y-2，y），
求${M^{-1}}[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$．

Answer 1

分析 由題意得到$\left\{\begin{array}{l}x+10=y-2\\ 3x+20=y\end{array}\right.$，從而求出x，y，再由逆矩陣公式求出矩陣M的逆矩陣，由此能求出${M^{-1}}[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$．

解答 解：∵點(diǎn)P（x，5）在矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q（y-2，y），
∴依題意，$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$$[{\begin{array}{l}x\\ 5\end{array}}]$=$[{\begin{array}{l}{y-2}\\ y\end{array}}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x+10=y-2\\ 3x+20=y\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=-4\\ y=8\end{array}\right.$
由逆矩陣公式知，矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&2\\ 3&4\end{array}}]$的逆矩陣${M^{-1}}=[{\begin{array}{l}{-2}&1\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}}]$，（8分）
∴${M^{-1}}[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}]$=$[{\begin{array}{l}{-2}&1\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}}]$$[{\begin{array}{l}{-4}\\ 8\end{array}}]$=$[{\begin{array}{l}{16}\\{-10}\end{array}}]$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣變換的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意逆矩陣公式的合理運(yùn)用．