Question

17．如圖，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，點(diǎn)P是以點(diǎn)O為圓心的圓弧$\widehat{DE}$上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OD}$+y$\overrightarrow{OE}$（x，y∈R），求x+y的最大值．

Answer 1

分析 以O(shè)P為對(duì)角線作出平行四邊形，設(shè)∠POD=α，利用正弦定理求出平行四邊形的邊長得出x，y，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及α的范圍得出x+y的最大值．

解答 解：以O(shè)D，OE為鄰邊，以O(shè)P為對(duì)角線作平行四邊形OMPN，
則$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，
設(shè)∠POD=α，則∠OMP=180°-∠DOE=60°，∠OPM=120°-α．
在△OPM中，由正弦定理得$\frac{OP}{sin60°}=\frac{OM}{sin（120°-α）}=\frac{PM}{sinα}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴|OM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（120°-α）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα），|PM|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
∵OD=OE=1，
∴$\overrightarrow{OM}=OM•\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{ON}=PM•\overrightarrow{OE}$，
又$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OD}+y\overrightarrow{OE}$，
∴x=cosα+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
∴x+y=cosα+$\sqrt{3}$sinα=2sin（α+30°），
∵0°≤α≤120°，
∴當(dāng)α+30°=90°即α=60°時(shí)x+y取得最大值2．
∴x+y的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，正弦定理，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值，屬于中檔題．