Question

5．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為蓌形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的一點(diǎn)．
（1）若PB∥平面AEF，試確定F點(diǎn)位置；
（2）在（1）的條件下，若直線PB與平面PAD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AF，EF，推導(dǎo)出PB∥EF，由E是BC的中點(diǎn)，能證明F為PC的中點(diǎn)．
（2）推導(dǎo)△ABC為正三角形，AE⊥BC，AE⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解答 解：（1）連結(jié)AF，EF，
∵PB∥平面AEF，PB?平面PBC，平面PBC∩平面AEF=EF，
∴PB∥EF．
又在△PBC中，E是BC的中點(diǎn)，
∴F為PC的中點(diǎn)．…（4分）
（2）∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為正三角形．∵E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE．所以AE，AD，AP兩兩垂直．（6分）
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=2，AP=a，則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，a），E（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}$，-1，-a），且$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0）為平面PAD的法向量，
設(shè)直線PB與平面PAD所成的角為θ，
由sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AE}$＞|=$\frac{{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{AE}|}}$=$\frac{3}{{\sqrt{4+{a^2}}\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$（8分）
解得a=2 所以?$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），?$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）
設(shè)平面AEF的一法向量為$\overrightarrow m$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$，因此$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$，
取z₁=-1，則$\overrightarrow m$=（0，2，-1），（10分）
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面AFC，∴$\overrightarrow{BD}$為平面AFC的一法向量．
又$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），
∴cos＜$\overrightarrow m$，$\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{{\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}}}{{|\overrightarrow m|•\overrightarrow{BD}}}=\frac{2×3}{{\sqrt{5}×\sqrt{12}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
∵二面角E-AF-C為銳角，∴所求二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運(yùn)用．