Question

17．已知四邊形ABCD內接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延長線交于點E，且EF切⊙O于F．
（Ⅰ）求證：EB=2ED；
（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據圓內接四邊形的性質，可得∠EAD=∠C，進而可得△AED∽△CEB，結合相似三角形的性質及已知可得結論；
（Ⅱ）根據切割線定理可得EF²=ED•EC=EA•EB，設DE=x，由AB=2，CD=5構造方程，解得DE，進而可得EF長．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠EAD=∠C，
又∵∠DEA=∠BEC，
∴△AED∽△CEB，
∴ED：EB=AD：BC=1：2，
即EB=2ED；
解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．
∴EF²=ED•EC=EA•EB，
設DE=x，則由AB=2，CD=5得：
x（x+5）=2x（2x-2），解得：x=3，
∴EF²=24，即EF=2$\sqrt{6}$

點評 本題考查的知識點是圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，切割線定理，難度中檔．