Question

已知下列a＞0，b＞0，給出下列四個不等式：
①a+b+

1

ab

≥2

2

；
②（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4；
③

a2+b2

ab

≥a+b；
④a+

1

a+4

≥-2．
其中正確的不等式有

 

（只填序號）．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式的性質(zhì)分別進行判斷即可．

解答： 解：①a+b+

1

ab

≥2

ab

+

1

ab

≥2

2 ab • 1 ab

=2

2

，
當且僅當a=b，且2

ab

=

1

ab

．即a=b且ab=

1

2

，即a=b=

2

2

時取等號，故①正確；
②（a+b）（

1

a

+

1

b

）=1+1+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=2+2=4，當且僅當

b

a

=

a

b

，即a=b＞0時取等號，故②正確；
③∵

a2+b2 2

≥

a+b

2

，∴a2+b2≥

(a+b)2

2

=（a+b）•

a+b

2

≥（a+b）•

ab

，
∴

a2+b2

ab

≥a+b；當且僅當a=b時取等號．故③正確，
④a+

1

a+4

=a+4+

1

a+4

-4≥2

(a+4)• 1 a+4

-4=2-4=-2．
當且僅當a+4=

1

a+4

，即（a+4）2=1時等號成立，而a＞0，
∴（a+4）2≠1．∴等號不能取得．綜上①②③正確．
故答案為：①②③

點評：本題主要考查不等式的大小比較，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．注意等號成立的條件．