Question

16．已知各項為正的數(shù)列{a_n}的首項為a₁=2sinθ（θ為銳角），$\sqrt{4-{a}_{n}^{2}}$+a${\;}_{n+1}^{2}$=2，數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，寫出a_n（不用證明）；
（2）①當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，證明sinx＜x；
②若θ=$\frac{π}{4}$，證明a₁+a₂+…+a_n＜π．

Answer 1

分析 （1）a₁=2sinθ，由$\sqrt{4-{{a}_{1}}^{2}}$+a₂²=2及三角恒等變換公式可得a₂=2sin$\frac{θ}{2}$，同理求得a₃=2sin$\frac{θ}{4}$；從而寫出a_n=2sin$\frac{θ}{{2}^{n-1}}$；
（2）①利用三角函數(shù)的定義證明；
②化簡a₁+a₂+…+a_n=2sin$\frac{π}{4}$+2sin$\frac{π}{8}$+2sin$\frac{π}{16}$+…+2sin$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$，從而利用放縮法證明．

解答 解：（1）a₁=2sinθ，
∵$\sqrt{4-{{a}_{1}}^{2}}$+a₂²=2，
即2cosθ+a₂²=2，
故a₂²=2-2cosθ=4sin²$\frac{θ}{2}$，
故a₂=2sin$\frac{θ}{2}$，
同理可得，a₃=2sin$\frac{θ}{4}$；
故a_n=2sin$\frac{θ}{{2}^{n-1}}$；
（2）①證明：如右圖，
由三角函數(shù)的定義知，sinx=MP，x=$\widehat{AP}$，
∵M(jìn)P＜$\widehat{AP}$，
∴sinx＜x；
②證明：∵θ=$\frac{π}{4}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=2sin$\frac{π}{4}$+2sin$\frac{π}{8}$+2sin$\frac{π}{16}$+…+2sin$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$
=2（sin$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{8}$+sin$\frac{π}{16}$+…+sin$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$）
＜2（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{8}$+$\frac{π}{16}$+…+$\frac{π}{4•{2}^{n-1}}$）
=2$\frac{\frac{π}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=π（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）＜π．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與歸納法的應(yīng)用．