Question

5．當(dāng)|x|≤1時，不等式2px²+qx-p+1≥0恒成立，求p+q的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論q的取值范圍，利用二次函數(shù)的對稱軸的討論p和q的取值．

解答 解：令：f（x）=2px²+qx-p+1，x∈[-1，1]．
（1）先考慮p＞0的情況，
①若$-1≤\frac{-q}{4p}≤1$，即-4p≤q≤4p，則由題意可知$f（-\frac{q}{4p}）≥0$，
即，$2p•（-\frac{q}{4p}）^{2}+q（-\frac{q}{4p}）-p+1≥0$，
整理得：${q}^{2}+8（p-\frac{1}{2}）^{2}≤2$．
設(shè)q=rcosθ，$p-\frac{1}{2}=\frac{rsinθ}{2\sqrt{2}}$，其中0≤r≤$\sqrt{2}$，θ∈[0，2π]，
$p+q=r（\frac{1}{2\sqrt{2}}sinθ+cosθ）+\frac{1}{2}$，φ∈（$0，\frac{π}{2}$），tanφ=2$\sqrt{2}$．
$p+q=r•\frac{3}{2\sqrt{2}}$（sinθcosφ+cosθsinφ）+$\frac{1}{2}$=$r•\frac{3}{2\sqrt{2}}sin（θ+$φ）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2\sqrt{2}}•\sqrt{2}•1+\frac{1}{2}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)$r=\sqrt{2}$，$sinθ=\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$p=\frac{2}{3}$，$q=\frac{4}{3}$．
②若$-\frac{q}{4p}＜-1$，即q＞4p，則f（-1）=p-q+1≥0得q≤p+1，
∴4p＜q＜p+1，得：$p＜\frac{1}{3}$，此時$p+q≤2p+1＜\frac{5}{3}＜2$；
③$-\frac{q}{4p}＞1$，即q＜-4p，p+q≤-3p＜0＜2；
（2）p≤0時，f（-1）=2p-q-p+1=p-q+1≥0，
得：q≤p+1，故p+q≤2p+1＜2．
綜合可知：p+q的最大值為2．
故答案為：2．

點評 本題主要考察二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的對函數(shù)取值的影響，屬于難題．