Question

13．某人經(jīng)營一個抽獎游戲，顧客花費2元錢可購買一次游戲機會，每次游戲中，顧客從裝有1個黑球，3個紅球，6個白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3個球（除顏色外其他都相同），根據(jù)摸出的球的顏色情況進行兌獎．顧客獲得一等獎、二等獎、三等獎、四等獎時分別可領取獎金a元、10元、5元、2元．若經(jīng)營者將顧客摸出的球的顏色情況分成以下類別：A：1個黑球2個紅球；B：3個紅球；C：恰有1個白球；D：恰有2個白球；E：3個白球．且經(jīng)營者計劃將五種類別按照發(fā)生機會從小到大的順序分別對應中一等獎、中二等獎、中三等獎、中四等獎、不中獎五個層次．
（Ⅰ）請寫出一至四等將分別對應的類別（寫出字母即可）；
（Ⅱ）若經(jīng)營者不打算在這個游戲的經(jīng)營中虧本，求a的最大值；
（Ⅲ）若a=50，當顧客摸出的第一個球是紅球時，求他領取的獎金的平均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出P（A），P（B），P（C），P（D），P（E），由此能求出中一至四等獎分別對應的類別．
（Ⅱ）設顧客進行一次游戲經(jīng)營者可盈利X元，列出分布列，求出數(shù)學期望，由此能求出a的最大值．
（Ⅲ）a=50，當顧客摸出的第一個球是紅球時時，求出中一等獎的概率，中二等獎的概率，中三等獎的概率，中四等獎的概率，由此能求出他領取的獎金的平均值．

解答 解：（Ⅰ）P（A）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{120}$，
P（B）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
P（C）=$\frac{{C}_{6}^{1}（{C}_{1}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{2}）}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$，
P（D）=$\frac{{C}_{6}^{2}（{C}_{1}^{1}+{C}_{3}^{1}）}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$，
P（E）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{20}{120}$，
∵P（B）＜P（A）＜P（E）＜P（C）＜P（D），
∴中一至四等獎分別對應的類別是B，A，E，C．
（Ⅱ）設顧客進行一次游戲經(jīng)營者可盈利X元，則：

X	-（a-2）	-8	-3	1	2
P	$\frac{1}{120}$	$\frac{3}{120}$	$\frac{20}{120}$	$\frac{36}{120}$	$\frac{60}{120}$

∴$\frac{1}{120}（-a+2-24-60+36+120）≥0$，
解得a≤74，即a的最大值為74元．
（Ⅲ）此時中一等獎的概率P₁=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，
中二等獎的概率P₂=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{2}{36}$，
中三等獎的概率P₃=0，
中四等獎的概率P₄=$\frac{{C}_{6}^{1}（{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}）}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{18}{36}$，
∴$\frac{1}{36}（50×1+10×2+0+1×18）=\frac{22}{9}$（元），
∴此時顧客領取的獎金的平均值為$\frac{22}{9}元$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．