Question

9．在直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為級軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$；
（I）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）設P為曲線C₁上的動點，求點P到曲線C₂上的距離的最小值的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的參數方程消去參數α，能求出曲線C₁的普通方程，曲線C₂的極坐標方程展開可得ρsinθ+ρcosθ=8，由此能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）設橢圓上的點P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），利用點P到直線的距離公式及三角函數性質能求出點P到曲線C₂上的距離的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
∴消去參數α，得曲線C₁的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
∵曲線C₂的極坐標方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$，
展開可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ=8．
∴曲線C₂的直角坐標方程為：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）∵P為曲線C₁上的動點，∴設橢圓上的點P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），
點P到直線O的距離為d=$\frac{|\sqrt{2}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}sin（α+θ）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴當sin（α+θ）=1時，點P到曲線C₂上的距離的最小值為d_min=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查曲線的普通方程、直角坐標方程的求法，考查點到曲線的距離的最小值的求法，考查參數方程、極坐標方程、直角坐標方程的互化、點到直線的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．