Question

19．如圖，A、B分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$兩漸近線上的點，A、B在y軸上的射影分別為A₁、B₁，M、N分別是A₁A、B₁B、的中點，若AB中點在雙曲線上，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$，則雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． $（{1，\frac{3}{2}}]$
• B． $[\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 設(shè)A（${x}_{1}，\frac{a}{x}_{1}$），B（${x}_{2}，-\frac{a}{x}_{2}$），求出M，N的坐標(biāo)，再由AB中點在雙曲線上可得${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}$．結(jié)合$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$列式求得雙曲線的離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（${x}_{1}，\frac{a}{x}_{1}$），B（${x}_{2}，-\frac{a}{x}_{2}$），
則M（$\frac{{x}_{1}}{2}，\frac{a}{x}_{1}$），N（$\frac{{x}_{2}}{2}，-\frac{a}{x}_{2}$），
∵AB中點在雙曲線上，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4{a}^{2}}=1$，即${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}$．
由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$，得$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}-\frac{^{2}}{{a}^{2}}{x}_{1}{x}_{2}≥-{a}^{2}$，
∴$\frac{1}{4}-\frac{^{2}}{{a}^{2}}≥-1$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{5}{4}$，解得$-\frac{3}{2}≤e≤\frac{3}{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e$≤\frac{3}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．