10．已知a∈R，函數(shù)f（x）=log2（$\frac{1}{x}$+a），若關(guān)于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰有一個元素，求a的取值范圍．

分析 根據(jù)對數(shù)的運算法則進行化簡，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論a的取值范圍進行求解即可．

解答 解：由f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0，
得log2（$\frac{1}{x}$+a）-log2[（a-4）x+2a-5]=0，
即log2（$\frac{1}{x}$+a）=log2[（a-4）x+2a-5]，
即$\frac{1}{x}$+a=（a-4）x+2a-5＞0，①
則（a-4）x2+（a-5）x-1=0，
即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
當(dāng)a=4時，方程②的解為x=-1，代入①，成立；
當(dāng)a=3時，方程②的解為x=-1，代入①，成立；
當(dāng)a≠4且a≠3時，方程②的解為x=-1或x=$\frac{1}{a-4}$，
若x=-1是方程①的解，則$\frac{1}{x}$+a=a-1＞0，即a＞1，
若x=$\frac{1}{a-4}$是方程①的解，則$\frac{1}{x}$+a=2a-4＞0，即a＞2，
則要使方程①有且僅有一個解，則1＜a≤2．
綜上，若方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一個元素，則a的取值范圍是1＜a≤2，或a=3或a=4．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．

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