Question

5．如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是所有棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱B₁C₁的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱AA₁上的動(dòng)點(diǎn)，則二面角B₁-EM-F的正切值不可能等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{15}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)棱長(zhǎng)為2，利用特殊位置，確定二面角B₁-EM-F的正切值的范圍，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)棱長(zhǎng)為2，則
當(dāng)點(diǎn)M在A₁時(shí)，${S}_{△{B}_{1}ME}$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
EF=ME=$\sqrt{5}$，MF=$\sqrt{3}$，
S_△EFM=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{5-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{51}}{4}$，
∴二面角B₁-EM-F的余弦值$\frac{\sqrt{51}}{8}$，正切值為$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{51}}$；
當(dāng)點(diǎn)M在A時(shí)，
${S}_{△{B}_{1}ME}$=$\frac{1}{2}×1×2$=1，
EF=$\sqrt{5}$，ME=1，MF=$\sqrt{7}$，c
os∠MEF=$\frac{1+5-7}{2×1×\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{2\sqrt{5}}$，sin∠MEF=$\sqrt{\frac{19}{20}}$，
S_△EFM=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}×\sqrt{\frac{19}{20}}$=$\frac{\sqrt{19}}{4}$，
∴二面角B₁-EM-F的余弦值$\frac{4}{\sqrt{19}}$，正切值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴二面角B₁-EM-F的正切值的范圍是[$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{51}}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]，
對(duì)照選項(xiàng)，可得D不滿足．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角B₁-EM-F的正切值的范圍，考查特殊化的方法，確定二面角B₁-EM-F的正切值的范圍是關(guān)鍵．