Question

20．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形．
（1）若E為線段A₁C₁的中點，證明：BE⊥AC；
（2）若A₁B₁=2，A₁A=4，∠ADC=120°，求三棱錐B-AD₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，B₁D₁，通過證明AC⊥平面B₁D₁DB得出AC⊥BE；
（2）利用菱形的性質(zhì)計算S_△ABC，于是${V_{B-A{D_1}C}}={V_{{D_1}-ABC}}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AA₁．

解答 解：（1）連接BD，B₁D₁，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AA₁⊥平面ABCD，BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC，
又BB₁?平面BB₁D₁D，BD?平面BB₁D₁D，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵E是A′C′的中點，四邊形A′B′C′D′是菱形，
∴E是B₁D₁的中點，
∴BE?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥BE．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=A₁B₁=2，∠ABC=∠ADC=120°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB×BC×sin∠ABC$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴${V_{B-A{D_1}C}}={V_{{D_1}-ABC}}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•AA₁=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×4$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．