Question

11．已知函數(shù)f（x）=（a-1）x+blnx，此函數(shù)在（1，f（1））處的切線為y=x-1．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=e^x圖象上存在一點(diǎn)M（x₀，h（x₀））處的切線為直線l，若直線l也是曲線y=f（x），x∈（1，+∞）的切線，試證明：實(shí)數(shù)x₀存在且唯一．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出${f}^{'}（x）=a-1+\frac{x}$，由題意$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1=0}\\{{f}^{'}（1）=a+b-1=1}\end{array}\right.$，從而求出f（x）=lnx，進(jìn)而g（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，求出${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由h（x）=e^x，得h′（x）=e^x，從而切線l的方程為y=${e}^{{x}_{0}}x-{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}$，設(shè)直線l與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x₁，lnx₁），則直線l的方程為y=$\frac{1}{{x}_{1}}x+ln{x}_{1}-1$，推導(dǎo)出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-ln{x}_{0}}\\{ln{x}_{1}=\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}}\end{array}\right.$，由此能證明實(shí)數(shù)x₀存在且唯一．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（a-1）x+blnx，
∴${f}^{'}（x）=a-1+\frac{x}$，
∵此函數(shù)在（1，f（1））處的切線為y=x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1=0}\\{{f}^{'}（1）=a+b-1=1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=1，
∴f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，
∴${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$，
∵x＞0，且x≠1，∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）．
證明：（Ⅱ）∵h(yuǎn)（x）=e^x，∴h′（x）=e^x，
∴切線l的方程為$y-{e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，即y=${e}^{{x}_{0}}x-{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}$，
設(shè)直線l與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x₁，lnx₁），
∵$f（x）=lnx，{f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$，
∴直線l的方程為$y-ln{x}_{1}=\frac{1}{{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，即y=$\frac{1}{{x}_{1}}x+ln{x}_{1}-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{1}}}\\{{e}^{{x}_{0}}={x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-ln{x}_{0}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{1}}}\\{\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{{x}_{0}}{{x}_{1}}-ln{x}_{1}-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-ln{x}_{0}}\\{ln{x}_{1}=\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}}\end{array}\right.$，
下面證明：在區(qū)間[1，+∞）上x₁存在，且唯一．
由（Ⅰ）知g（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上遞增，
又g（x）=lne-$\frac{e+1}{e-1}$=-$\frac{2}{e-1}$＜0，
$g（{e}^{2}）=ln{e}^{2}-\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}$=$\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}$＞0，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理，說(shuō)明方程g（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根，
這個(gè)根就是所求的唯一的x₁，
又∵x₀=-lnx₁，∴實(shí)數(shù)x₀存在且唯一．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)存在且唯一的證明，考查導(dǎo)數(shù)、切線方程、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．