Question

已知函數(shù)f（x）=x•lnx，g（x）=

lnx

x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間：
（Ⅱ）對于x＞0的任意實數(shù)，不等式g（x）≤ax-1≤f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值；
（Ⅲ）數(shù)列{1nn}（n∈N^*）的前n項和為S_n，求證：

(n-1)2

2n

≤S_n≤

n(n-1)(n+1)

3

．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）分離參數(shù)，求最值，即可求實數(shù)a的取值；
（Ⅲ）利用數(shù)學歸納法進行證明即可．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x•lnx，
∴f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，可得x＞

1

e

，f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

e

，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

1

e

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

e

），
∴x=

1

e

時，函數(shù)取得極小值-

1

e

；
（Ⅱ）解：∵對于x＞0的任意實數(shù)，不等式g（x）≤ax-1≤f（x）恒成立，
∴

lnx+x

x2

≤a≤lnx+

1

x

．
設m（x）=

lnx+x

x2

，n（x）=lnx+

1

x

，則
m′（x）=

1-x-2lnx

x3

（x＞0），令h（x）=1-x-2lnx，則h′（x）=-1-

1

x

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且h（1）=0，
∴x∈（0，1）時，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，m′（x）＜0，
∴m（x）在（0，1）是單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴m（x）的最大值為1，
∴a≥1．
同理n（x）在（0，1）是單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴n（x）的最小值為1，
∴a≤1，
∴a=1；
（Ⅲ）證明：①n=1是，S₁=0，不等式成立；
②假設n=k時，結論成立，即

(k-1)2

2k

≤S_k≤

k(k-1)(k+1)

3

．
由（Ⅱ），用k+1代替（Ⅱ）中的x，可得

ln(k+1)

k+1

≤k≤（k+1）ln（k+1），
∴

k

k+1

≤ln（k+1）≤k（k+1），
∴S_k+1=S_k+ln（k+1）≤

k(k-1)(k+1)

3

+k（k+1）=

k(k+1)(k+2)

3

，
S_k+1=S_k+ln（k+1）≥

(k-1)2

2k

+

k

k+1

≥

k2

2k(k+1)

，即n=k+1時，結論成立．
由①②可知

(n-1)2

2n

≤S_n≤

n(n-1)(n+1)

3

．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，有難度．