Question

設(shè)x=3是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，g（x）=（a²+

25

4

）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜

25

4

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可得出a與b的關(guān)系，對(duì)a分類討論即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）利用單調(diào)性分別求出函數(shù)f（x），g（x）的值域，f（x）在[0，4]上的值域?yàn)閇-2（a+3）e³，a+6]．g（x）在x∈[0，4]上的值域?yàn)?span id="znkxt6l" class="MathJye">[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]．由于(a2+

25

4

)-(a+6)=(a-

1

2

)2≥0，可知：若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜

25

4

成立，必需

a＞0 (a2+ 25 4 )-(a+6)＜ 25 4

，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+ax+b）e^3-x
∴f′（x）=（2x+a）e^3-x-（x²+ax+b）e^3-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x，
由題意得：f′（3）=0，即3²+3（a-2）+b-a=0，b=-2a-3，
∴f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x且f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
令f′（x）=0得x₁=3，x₂=-a-1．
∵x=3是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)
∴x₁≠x₂，即a≠-4
故a與b的關(guān)系式b=-2a-3，（a≠-4）．
（1）當(dāng)a＜-4時(shí)，x₂=-a-1＞3，由f′（x）＞0得單增區(qū)間為：（3，-a-1）；
由f′（x）＜0得單減區(qū)間為：（-∞，3），（-a-1，+∞）；
（2）當(dāng)a＞-4時(shí)，x₂=-a-1＜3，由f′（x）＞0得單增區(qū)間為：（-a-1，3）；
由f′（x）＜0得單減區(qū)間為：（-∞，-a-1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)a＞0時(shí)，x₂=-a-1＜0，f（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，在[3，4]上單調(diào)遞減，
∴f(x)min=min{f(0)，f(4)}=-2(a+3)e3，f（x）_max=f（3）=a+6．
∴f（x）在[0，4]上的值域?yàn)閇-2（a+3）e³，a+6]．
又g（x）=（a²+

25

4

）e^x，在x∈[0，4]上單調(diào)遞增，
∴g（x）在x∈[0，4]上的值域?yàn)?span id="vnf15li" class="MathJye">[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]．
由于(a2+

25

4

)-(a+6)=(a-

1

2

)2≥0，
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜

25

4

成立，
必需

a＞0 (a2+ 25 4 )-(a+6)＜ 25 4

，解得0＜a＜3．
∴a的取值范圍是（0，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，屬于難題．