已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|.
(1)當(dāng)a=3時,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若?x∈R,f(x)≥|x-1|-x+5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):絕對值不等式的解法
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)a=3時,不等式f(x)≥2?|2x-3|+|x-1|≥2,通過對x范圍的分類討論,去掉絕對值符號,即可求得原不等式的解集;
(2)f(x)=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5?|2x-a|≥5-x,通過對x>5與x≤5的討論,結(jié)合題意,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答: 解:(1)當(dāng)a=3時,由不等式f(x)≥2得:|2x-3|+|x-1|≥2,
∴當(dāng)x<1時,3-2x+1-x≥2,解得x≤
2
3
;
當(dāng)1≤x≤
3
2
時,3-2x+x-1≥2,解得x≤0,與1≤x≤
3
2
的交集為∅;
當(dāng)x≥
3
2
時,2x-3+x-1≥2,解得x≥2.
∴當(dāng)a=3時,不等式f(x)≥2的解集為{x|x≤
2
3
或x≥2};
(2)∵f(x)=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5,
∴|2x-a|≥5-x.
當(dāng)x>5時,5-x<0,原不等式恒成立,∴a∈R;
當(dāng)x≤5時,x-5≤a-2x≤5-x,即3x-5≤a≤x+5,
∵x+5≤10,
∴a≤10,又?x∈R,f(x)≥|x-1|-x+5,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,10].
點(diǎn)評:本題考查絕對值不等式的解法,著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
m
2
x2+2(1-m)x-4lnx(m∈R).
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設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(wx+
π
6
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π
2
為最小正周期,
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lnx
x

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(Ⅲ)數(shù)列{1nn}(n∈N*)的前n項(xiàng)和為Sn,求證:
(n-1)2
2n
≤Sn
n(n-1)(n+1)
3

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某公路段在某一時刻內(nèi)監(jiān)測到的車速頻率分布直方圖如圖所示.
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(Ⅱ)求車速的眾數(shù)v1,中位數(shù)v2的估計值;
(Ⅲ)求平均車速
.
v
的估計值.

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如圖,在海岸線l一側(cè)C處有一個美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在l上設(shè)立了A,B兩個報名點(diǎn),滿足A,B,C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米.公司擬按以下思路運(yùn)作:先將A,B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處(點(diǎn)D異于A,B兩點(diǎn)),然后乘同一艘游輪前往C島.據(jù)統(tǒng)計,每批游客A處需發(fā)車2輛,B處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費(fèi)4元,游輪每千米耗費(fèi)24元.設(shè)∠CDA=α,每批游客從各自報名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元.
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(2)問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時,S最小?

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