Question

已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|x-1|．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）≥2?|2x-3|+|x-1|≥2，通過對(duì)x范圍的分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得原不等式的解集；
（2）f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5?|2x-a|≥5-x，通過對(duì)x＞5與x≤5的討論，結(jié)合題意，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，由不等式f（x）≥2得：|2x-3|+|x-1|≥2，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，3-2x+1-x≥2，解得x≤

2

3

；
當(dāng)1≤x≤

3

2

時(shí)，3-2x+x-1≥2，解得x≤0，與1≤x≤

3

2

的交集為∅；
當(dāng)x≥

3

2

時(shí)，2x-3+x-1≥2，解得x≥2．
∴當(dāng)a=3時(shí)，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≤

2

3

或x≥2}；
（2）∵f（x）=|2x-a|+|x-1|≥|x-1|-x+5，
∴|2x-a|≥5-x．
當(dāng)x＞5時(shí)，5-x＜0，原不等式恒成立，∴a∈R；
當(dāng)x≤5時(shí)，x-5≤a-2x≤5-x，即3x-5≤a≤x+5，
∵x+5≤10，
∴a≤10，又?x∈R，f（x）≥|x-1|-x+5，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，10]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．