Question

6．若數(shù)列{a_n}滿足|a_n+1-a_n|=p，當(dāng)p=$\frac{1}{2}$時，則稱{a_n}為“規(guī)則數(shù)列”；當(dāng)p=$\frac{1}{{2}^{n}}$時，則稱{a_n}為“收縮數(shù)列”，記S_n=a₁+a₂+…+a_n
（1）若{a_n}是首項為2的“規(guī)則數(shù)列”，求a₂₀₁₆的不同取值個數(shù)以及最大值，求使得S_n=0成立的n的最小值
（2）已知{a_n}是首項為3的“規(guī)則數(shù)列”，求證：a₉₉=52成立的充要條件是數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
（3）是否存在首項a₁≥1的“收縮數(shù)列”{a_n}，使得$\underset{lim}{n→∞}$S_n存在，若存在，求出極限；若不存在，請說明理．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}是首項為2的“規(guī)則數(shù)列”，求得前幾項，找出規(guī)律，即可得到a₂₀₁₆的不同取值個數(shù)為2016，最大值為$\frac{2019}{2}$；運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式，以及求和公式計算即可得到所求值；
（2）從兩個方面證明充要條件，當(dāng)數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列時，運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式可得；再由當(dāng)a₉₉=52，推理可得a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，即可得證；
（3）不存在首項a₁≥1的“收縮數(shù)列”{a_n}，使得$\underset{lim}{n→∞}$S_n存在．可通過a_n+1-a_n=±$\frac{1}{{2}^{n}}$，求得通項a_n，判斷數(shù)列的和的極限，推理數(shù)列{a_n}為擺動數(shù)列，也不存在．

解答 解：（1）{a_n}是首項為2的“規(guī)則數(shù)列”，
可得a₁=2；a₂=$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$；a₃=3，2，1；a₄=$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$；
…，a₂₀₁₆=$\frac{2019}{2}$，$\frac{2017}{2}$，…，-$\frac{2011}{2}$，
則a₂₀₁₆的不同取值個數(shù)為2016，最大值為$\frac{2019}{2}$；
由題意可得a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$，可得a_n=2-$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{5-n}{2}$，
S_n=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{5-n}{2}$）n=$\frac{n}{4}$（9-n），當(dāng)n=9時，即為最小值，有S_n=0；
（2）證明：當(dāng)數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列時，
即有a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$，可得a_n=3+$\frac{1}{2}$（n-1），
則有a₉₉=3+$\frac{1}{2}$×98=52；
當(dāng)a₉₉=52時，由（1）可得|a_n+1-a_n|=$\frac{1}{2}$時，
a₉₉共有99個不同的實數(shù)值，且52為最大值，
可得a₉₈也為最大，類推可得a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，
則數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
綜合可得，a₉₉=52成立的充要條件是數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列；
（3）不存在首項a₁≥1的“收縮數(shù)列”{a_n}，使得$\underset{lim}{n→∞}$S_n存在．
若a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，則a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a₁-1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=a₁+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
顯然S_n=n（a₁+1）-（1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）=n（a₁+1）-2+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
顯然$\underset{lim}{n→∞}$S_n不存在；
若a_n+1-a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，由上可知，$\underset{lim}{n→∞}$S_n不存在；
若數(shù)列{a_n}為擺動數(shù)列，同樣不存在首項a₁≥1的“收縮數(shù)列”{a_n}，
使得$\underset{lim}{n→∞}$S_n存在．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，注意運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，同時考查數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．