Question

已知定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），且x≥0時(shí)，f（x）=2^x-1
（1）當(dāng)x＜0時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，m]（m＞-1）時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求x＜0時(shí)的f（x）解析式，所以設(shè)x＜0，-x＞0，從而可求出f（x）=f（-x）=2^-x-1；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性，分m≤0，0＜m≤1，m＞1這幾種情況討論m的取值，然后根據(jù)f（x）的單調(diào)性及最值情況即可求得f（x）在[-1，m]上的值域．

解答： 解：（1）設(shè)x＜0，-x＞0；
∴f（x）=f（-x）=2^-x-1；
即x＜0時(shí)，f（x）=2^-x-1；
（2）容易判斷x≥0時(shí)，f（x）=2^x-1是增函數(shù)；
x＜0時(shí)，f（x）=2^-x-1是減函數(shù)；
∴①若m≤0，f（x）的值域?yàn)閇f（-1），f（m）]=[1，2^-m-1]；
②若0＜m≤1，則2^m-1≤1，∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（0），f（-1）]=[

1

2

，1]；
③若m＞1，則2^m-1＞1，∴此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（0），f（m）]=[

1

2

，2m-1]．

點(diǎn)評(píng)：考查求偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的解析式的方法與過程，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，討論參數(shù)m的取值范圍，從而求函數(shù)的值域．