Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-3+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（為參數(shù)）．取原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，并取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（1）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線C的形狀；
（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)（0，4），點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C直角坐標(biāo)方程為：y²=4x，可得曲線C的形狀；
（2）求出直線的普通方程，設(shè)P（4t²，4t），則點(diǎn)P到直線的距離$d=\frac{{|4{t^2}-4t+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|4{{（t-\frac{1}{2}）}^2}+3|}}{{\sqrt{2}}}$，即可求點(diǎn)P到直線的距離的最小值．

解答 解：（1）曲線C直角坐標(biāo)方程為：y²=4x，
∴曲線C是頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)為F（1，0）的拋物線；　　　　　　　　　　…5分
（2）直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-3+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（為參數(shù)），故直線過點(diǎn)（-3，1）；
又若直線經(jīng)過點(diǎn)（0，4），∴直線的普通方程為：x-y+4=0，
由已知設(shè)P（4t²，4t），則點(diǎn)P到直線的距離$d=\frac{{|4{t^2}-4t+4|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|4{{（t-\frac{1}{2}）}^2}+3|}}{{\sqrt{2}}}$，
所以當(dāng)$t=\frac{1}{2}$，即點(diǎn)P（1，2）時(shí)，d取得最小值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
因此點(diǎn)P到直線的距離的最小值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$． …10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．