Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{2}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的首項和公差寫出通項公式；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出新數(shù)列的通項公式，最后采用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{2}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等比數(shù)列，
∴a_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n．
（2）由（1）a_n=$\frac{1}{2}$n，
則：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n•\frac{1}{2}（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=4（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{4n}{n+1}$．

點評 本題考查的知識要點：賦值法在求數(shù)列通項公式中的應(yīng)用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．