Question

4．已知動圓過定點(diǎn)（0，2），且在x軸上截得的弦長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線C．
（1）求直線x-4y+2=0與曲線C圍成的區(qū)域面積；
（2）點(diǎn)P在直線l：x-y-2=0上，點(diǎn)Q（0，1），過點(diǎn)P作曲線C的切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，證明：存在常數(shù)λ，使得|PQ|²=λ|QA|•|QB|，并求λ的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為（x，y），由題意得|y|²+2²=x²+（y-2）²，從而x²=4y，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{x-4y+2=0}\end{array}\right.$，求出$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，由此利用定積分能求了直線x-4y+2=0與曲線C圍成的區(qū)域面積．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意得切線PA的方程為y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），切線PB的方程為y-y₂=$\frac{{x}_{2}}{2}（x-{x}_{2}）$，設(shè)P（x₀，y₀），則直線AB的方程為$y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}$，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-2x₀x+4y₀=0，從而x²-2x₀x+4（x₀-2）=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為（x，y），
∵動圓過定點(diǎn)（0，2），且在x軸上截得的弦長為4，
∴由題意得|y|²+2²=x²+（y-2）²，
化簡，得：x²=4y，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{x-4y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直線x-4y+2=0與曲線C圍成的區(qū)域面積為：
${∫}_{-1}^{2}（\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}{x}^{2}）dx$
=（-$\frac{{x}^{3}}{12}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}x$）${|}_{-1}^{2}$=$\frac{9}{8}$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由題意得切線PA的方程為y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），
切線PB的方程為y-y₂=$\frac{{x}_{2}}{2}（x-{x}_{2}）$，
設(shè)P（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}-{y}_{1}=\frac{{x}_{1}}{2}（{x}_{0}-{x}_{1}）}\\{{y}_{0}-{y}_{2}=\frac{{x}_{2}}{2}（{x}_{0}-{x}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴直線AB的方程為${y}_{0}-y=\frac{x}{2}（{x}_{0}-x）$，
∴${y}_{0}-y=\frac{x}{2}•{x}_{0}-\frac{1}{2}•4y$，即$y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{0}}{2}x-{y}_{0}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-2x₀x+4y₀=0，
又y₀=x₀-2，
∴x²-2x₀x+4（x₀-2）=0，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=4x₀-8，
|PQ|²=${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}$=${{x}_{0}}^{2}$+（x₀-3）²=2x₀²-6x₀+9，
|QA|•|QB|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+y₁+y₂+1
=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+1
=$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}+\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+1
=$\frac{（4{x}_{0}-8）^{2}}{16}+\frac{（2{x}_{0}）^{2}-2（4{x}_{0}-8）}{4}$+1
=$2{{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+9$，
∴$λ=\frac{|PQ{|}^{2}}{|QA|•|QB|}$=1．

點(diǎn)評 本題考查直線方程、拋物線、定積分、韋達(dá)定理、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．